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$\textbf{2)}$ Buscamos las raíces de $f(x)$ igualando la función a cero
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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.2.
De los siguientes ítems del ejercicio 1, calcular: raíces, conjunto de positividad y negatividad - d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ
h) $f(x)=3 x \ln (x)$
h) $f(x)=3 x \ln (x)$
Respuesta
$\textbf{1)}$ Identificamos el dominio de $f(x)$
El dominio de $f$ es $(0, +\infty)$
\( 3x \ln(x) = 0 \)
\( x \ln(x) = 0 \)
Esta ecuación es cero si \( x = 0 \) o \( \ln(x) = 0 \). Pero acordate que \( x = 0 \) no está en el dominio de $f$, así que la única posibilidad es que...
\( \ln(x) = 0 \)
Aplicamos $e$ en ambos miembros para terminar de despejar:
\( e^{\ln(x)} = e^0 \)
\( x = 1 \)
Por lo tanto, la única raíz de \( f(x) \) es \( x = 1 \)
$\textbf{3)}$ Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) \( 0 < x < 1 \)
b) \( x > 1 \)
$\textbf{4)}$ Evaluamos el signo de \( f(x) \) en cada uno de los intervalos:
Para (\( 0 < x < 1 \)), elegimos por ejemplo \( x = \frac{1}{2} \):
\( f\left(\frac{1}{2}\right) < 0 \)
Para (\( x > 1 \)), elegimos por ejemplo \( x = 2 \):
- \( f(2) > 0 \)
Por lo tanto,
Conjunto de positividad: $(1, +\infty)$
Conjunto de negatividad: $(0,1)$